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\lhead{Urem Bruxelles - Groupe \LaTeX}
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\rhead{mai 2011 }
\lfoot{\emph{Hugues Vermeiren}}
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\parindent 0pt	

\begin{document}

		{\Large Arbres et probabilité : le rat et le fromage}

		\medskip
		Au cours d'une expérience sur le comportement des animaux, des rats doivent choisir entre quatres portes d'apparences identiques,
		dont l'une est dite \emph{bonne} (elle donne dans une cage contenant un fromage) et les trois autres \emph{mauvaises} (elles donnent sur des cages vides).

		\medskip
		\begin{minipage}{0.55\linewidth}
			A chaque fois que le rat choisit une mauvaise porte, il est reconduit à son point de départ et ce jusqu'à ce qu'il trouve la bonne porte.

			Supposons que le rat ait une mémoire parfaite. A chaque nouvelle expérience, il évite les portes choisies auparavant et il choisit de façons équiprobables entre les portes qu'il n'a pas encore essayées.

		Déterminer la probabité de l'événement
		\[
			S_k=\text{``Le rat sort à la k-ième fois''}\,, (k=1,2,3,4)
		\]
		\end{minipage}
		\hfill
		\begin{minipage}{0.42\linewidth}
			\begin{center}
			\includegraphics[width=0.9\textwidth]{rat.jpg}
			\end{center}
		\end{minipage}

	\bigskip
	\begin{minipage}{0.55\linewidth}
		\begin{tikzpicture}[
			scale=0.75,
			level 1/.style={sibling distance=60mm,level distance=30mm},
			level 2/.style={sibling distance=20mm,level distance=30mm},
			level 3/.style={sibling distance=10mm,level distance=20mm},
			MyNode/.style={fill=brown!40!yellow!30!,thick,draw=black,rounded corners,align=center},
			MyNodeA/.style={fill=blue!10!,thick,draw=black,rounded corners,align=center},
			MyProba/.style={black},
			MyEdge/.style={<->,>=triangle 45,dashed},
			edge from parent/.style={blue,thick,draw,font=\footnotesize},
			]
			\node[MyNode,text width=0.5cm,align=center](racine) {$\times$}[grow'=east]
				child {node[MyNodeA](ma){${A}$ }  
					edge from parent node[left]{$1/4$}
					}
				child {node[MyNode](mb){$B$}
					child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1/3$}}
					child {node[MyNode]{$C$}
						child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1/2$}}
						child {node[MyNode]{$D$}
							child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1$}}
							edge from parent node[below]{$1/2$}
							}
						edge from parent node[above]{$1/3$}
						}
					child {node[MyNode]{$D$}
						child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1/2$}}
						child {node[MyNode]{$C$} 
							child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1$}}
							edge from parent node[below]{$1/2$}
							}
						edge from parent node[above]{$1/3$}
						}
					edge from parent node[left]{$1/4$}
					}
				child{node[MyNode] (mc){$C$}
					child {node[MyNodeA](na){$A$} edge from parent node[above]{$1/3$}}
					child {node[MyNode](nc){$B$}
						child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1/2$}}
						child {node[MyNode]{$D$}
							child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1$}}
							edge from parent node[below]{$1/2$}
							}
						edge from parent node[above]{$1/3$}
						}
					child {node[MyNode](nd){$D$}
						child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1/2$}}
						child {node[MyNode]{$B$}
							child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1$}}
							edge from parent node[below]{$1/2$}
							}
						edge from parent node[above]{$1/3$}
						}
					edge from parent node[left]{$1/4$}
					}
				child{node[MyNode](md){$D$}
					child {node[MyNodeA](na){$A$} edge from parent node[above]{$1/3$}}
					child {node[MyNode](nc){$B$}
						child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1/2$}}
						child {node[MyNode]{$C$}
							child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1$}}
							edge from parent node[below]{$1/2$}
							}
						edge from parent node[above]{$1/3$}
						}
					child {node[MyNode](nd){$C$}
						child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1/2$}}
						child {node[MyNode]{$B$}
							child {node[MyNodeA]{$A$} edge from parent node[above]{$1$}}
							edge from parent node[below]{$1/2$}
							}
						edge from parent node[above]{$1/3$}
						}
					edge from parent node[left]{$1/4$}
					}
				;
		\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{minipage}{0.42\linewidth}
		L'arbre correspondant à tous les parcours possibles du rat est représenté ci-contre (on suppose que c'est la porte A qui cache le fromage).

		\begin{itemize}
			\item Un seul chemin conduit au fromage en un seul essai
				\[ \mathrm{p}(S_1)=\frac14 \]
			\item Trois chemins conduisent au fromage en deux essais
				\[ \mathrm{p}(S_2)=3\times \left( \frac14 \cdot \frac13 \right)=\frac14 \]
			\item Six chemins conduisent au fromage en trois essais et aussi en quatre essais
				\[ \mathrm{p}(S_3)=6\times \left( \frac14 \cdot \frac13 \cdot \frac12 \right)=\frac14 \]
				\[ \mathrm{p}(S_4)=6\times \left( \frac14 \cdot \frac13 \cdot \frac12 \cdot 1 \right)=\frac14 \]
		\end{itemize}

		Les probabilités de tomber sur le fromage en $k$ essais $(k=1,2,3,4)$ sont donc toutes égales à $\ \dfrac14\ $.
	\end{minipage}

	\begin{flushright}
		\begin{scriptsize}
			Source: Collection Transmath,
			Math\'ematiques, Terminale D\\
			R.Barra, J.Malaval, A.Tricoire, Nathan 1987
		\end{scriptsize}
	\end{flushright}
\end{document}