\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[top=2cm, bottom=1.5cm, left=2.5cm, right=2.0cm]{geometry}
\geometry{a4paper}
\usepackage{amsmath,amssymb, mathrsfs}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}
\usepackage{xifthen}
\usepackage[babel=true,kerning=true]{microtype}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections}

\pagestyle{headings}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}

\lhead{Urem Bruxelles}% \includegraphics[width=0.08\textwidth]{rubon0.jpg}}
\chead{}
\rhead{Novembre 2011}
\lfoot{\emph{Hugues Vermeiren}}
\cfoot{Page \thepage}
\rfoot{}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\parindent}{0pt}


\begin{document}
{\Large Une quadrature \emph{approchée} de $\pi$}

\medskip
On sait qu'il est impossible, à la règle et au compas, de construire un carré d'aire $\pi$.
Si on dispose d'une approximation (constructible) $\alpha$ de $\pi$, il n'est pas pour autant facile de trouver une construction de $\sqrt{\alpha}$ en un nombre \emph{raisonnable} d'étapes.

La construction qui suit est reprise de ``Théorie des Corps'' de Jean-Claude Carrega (Hermann) et a été proposée par Ramanujan en 1913.

\bigskip
\def\ptsize{.15mm}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=4.0]
		\clip (-1.2,-2.5)rectangle (1.75,1.25);
		\coordinate (O) at (0,0);
		\coordinate (A) at (-1,0);
		\coordinate (B) at (1,0);
		\draw (A)--(B);
		\coordinate (C) at ($(O)!2/3!(B)$);
		\draw[xshift=0.667cm] (0.15,0.03)--(0.03,0.03)--(0.03,0.15);
		\coordinate (X) at ($(C)!1.0!-90:(A)$);
		%
		\fill[name path=basiccircle,fill=green!10,thick,draw=black,opacity=0.5] (O) circle (1cm);
		\fill (O) circle (\ptsize)node[below]{$O$};
		\fill (A) circle (\ptsize)node[left]{$A$};
		\fill (B) circle (\ptsize)node[right]{$B$};
		\fill (C) circle (\ptsize)node[below]{$C$};
		% construction de D
		\draw[name path=lineA] (C)--(X);
		\path [name intersections={of=lineA and basiccircle}];
		\coordinate (D) at (intersection-1);
		\draw[very thick,blue] (C)--(D);
		\fill (D) circle (\ptsize)node[above right]{$D$};
		% construction de E
		\draw[name path=circleBE,dashed]
			let	\p1 =($(D)-(C)$),
				\n2 ={veclen(\x1,\y1)}
			 in (B) circle (\n2);
		\path [name intersections={of=basiccircle and circleBE}];
		\coordinate (E) at (intersection-1);
		\fill (E) circle (\ptsize)node[right=5pt]{$E$};
		\draw (A)--(E);
		\draw[very thick,blue] (B)--(E);
		% construction de O'
		\coordinate (Z) at ($(O)+(E)-(B)$);
		\coordinate (O') at (intersection of O--Z and A--E);
		\draw (O)--(Z);
		\fill (O') circle (\ptsize)node[right=5pt]{$O'$};
		% construction de C'
		\coordinate (U) at ($(C)+(E)-(B)$);
		\coordinate (C') at (intersection of C--U and A--E);
		\draw (C)--(U);
		\fill (C') circle (\ptsize)node[above right]{$C'$};
		% construction de F
		\draw[name path=circleAF,dashed]
			let	\p1=($(A)-(O')$),
				\n2={veclen(\x1,\y1)}
			in (A) circle (\n2);
		\path [name intersections={of=basiccircle and circleAF}];
		\coordinate (F) at (intersection-2);
		\fill (F) circle (\ptsize) node[below]{$F$};
		\draw[name path=lineBF] (F)--(B);
		% construction de G
		\draw[name path=circleAG,dashed]
			let	\p1=($(O')-(C')$),
				\n2={veclen(\x1,\y1)}
			in (A) circle (\n2);
		\coordinate (V) at ($(A)!1.0!-90:(O)$);
		\draw[name path=lineAV] (A)--(V);
		\draw[xshift=-1.0cm] (0.2,-0.03)--(0.03,-0.03)--(0.03,-0.15);
		\path [name intersections={of=circleAG and lineAV}];
		\coordinate (G) at (intersection-1);
		\fill (G) circle (\ptsize) node[above left]{$G$};
		\draw (G)--(B);
		\draw[very thick,orange] (A)--(G);
		\draw[very thick,orange] (O')--(C');
		% construction de H
		\coordinate (H) at ($(A)!0.5!(O)$);
		\fill (H) circle (\ptsize) node[below left] {$H$};
		% construction de I
		\draw[name path=circleBI,dashed]
			let	\p1=($(B)-(H)$),
				\n2={veclen(\x1,\y1)}
			in (B) circle (\n2);
		\path [name intersections={of=lineBF and circleBI}];
		\coordinate (I) at (intersection-1);
		\fill (I) circle (\ptsize)node[right=5pt]{$I$};
		% construction de J
		\draw (G)--(F);
		\coordinate (W) at ($(I)+(G)-(F)$);
		\draw (I)--(W);
		\coordinate (J) at (intersection of B--G and I--W);
		\fill (J) circle (\ptsize) node[above]{$J$};
		% Résultat final
		\draw[red,thick] (J)--(B) node[above,midway,sloped]{$\sqrt{\frac{355}{113}}$};
		% Le carré d'aire 355/113
		\coordinate (R) at ($(B)!1.0!90:(J)$);
		\coordinate (S) at ($(J)!1.0!-90:(B)$);
		\fill (R) circle (\ptsize);
		\fill (S) circle (\ptsize);
		\fill[fill=blue!10,draw=red,thick,opacity=0.5] (B)--(J)--(S)--(R)--cycle;
		% Commentaires!
		\coordinate (T) at ($(B)!0.5!(S)$);
		\node at (T) {Carr\'e d'aire $\frac{355}{113}$};
		\node[fill=green!10,opacity=0.5] at (0.2,0.75) {Disque d'aire $\pi$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

	\textbf{Description}

	\medskip
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
	\begin{itemize}
		\item $AB$ est un diamètre du cercle $\Gamma$ de rayon unité,
		\item $C$ est tel que $OC=\frac23\,OB$,
		\item $D$ est une intersection de la perpendiculaire à $AB$ par $C$ avec $\Gamma$,
		\item $E$ est tel que $BE=CD$,
		\item $O'$ et $C'$ sont sur $AE$ et sur les parallèles à $EB$ passant respectivement par $O$ et $C$,
		\item $F$ est tel que $AF=AO'$ et $F\in \Gamma$,
		\item $G$ est sur la tangente à $\Gamma$ en $A$ et est tel que $AG=O'C'$,
		\item $H$ est le milieu de $AO$,
		\item $I$ est sur $BF$ et est tel que $BI=BH$,
		\item $J$ est sur $BG$ et est sur la parallèle à $GF$ passant par $I$.
	\end{itemize}

	
	\medskip
	Le carré de côté $BJ$ a alors une aire égale à $\frac{355}{113}$ qui est égale à $\pi$ à $10^{-6}$ près.

\newpage
	\textbf{Justification}
	
	\medskip
	Thalès, Pythagore et le théorème sur les triangles rectangles inscrits à un cercle suffiront à nos besoins:

	\medskip
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
	\begin{itemize}
		\item $OC=\dfrac23$, donc $CD^2=AC\cdot CB = \dfrac53 \cdot \dfrac13=\dfrac59$ d'où $BE=CD=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
		\item $OO'=\dfrac12\,BE=\dfrac{\sqrt{5}}{6}$
		\item $AF=AO'=\sqrt{AO^2-OO'^2}=\sqrt{1-\dfrac{5}{36}}=\dfrac{\sqrt{31}}{6}$
		\item $AG=O'C'=\dfrac23\,AO'=\dfrac23 \,\dfrac{\sqrt{31}}{6}=\dfrac{\sqrt{31}}{9}$
		\item $BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{4-\dfrac{31}{36}}=\dfrac{\sqrt{113}}{6}$
		\item $BG=\sqrt{AB^2+AG^2}=\sqrt{4+\dfrac{31}{81}}=\dfrac{\sqrt{355}}{9}$
		\item $BI=BH=\dfrac32$ et donc, par Thalès, $BJ=BG\cdot \dfrac{BI}{BF}=\dfrac{\sqrt{355}}{9}\cdot \dfrac{3/2}{\sqrt{113}/6}=\sqrt{\dfrac{355}{113}}$
	\end{itemize}

	\medskip
	On pouvait bien sûr construire $\frac{355}{113}$, qui est un rationnel, comme on demande à un élève de 12-13 ans de construire le rationnel $\frac{9}{7}$, comme application de Thalès.
	Mais pratiquement, reporter 355 fois une longueur sur une demi-droite est irréalisable...

\bigskip
\textbf{Pour en savoir plus...}

\medskip
D'autres constructions, basées sur des approximations irrationnelles ont été proposées:

\medskip
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
	\begin{itemize}
		\item $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3,14153$ (erreur relative $\epsilon_r=0,15\,\%$)
		\medskip
		\item $\sqrt{4+\left( 3+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}\approx 3,1415919$ (Koshansky, 1865)
		\medskip
		\item $\dfrac12\,\left( 2+\dfrac35 \right)\,\sqrt{1+\left( 2+\dfrac15 \right)^2}\approx 3,1415919$ (D.Specht, 1836)
		\medskip
		\item $\dfrac65\,(1+\varphi)\approx 3,14164$ où $\ \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\ $ (Dixon, 1991)
	\end{itemize}

	\bigskip
	On consultera à ce sujet :

\renewcommand{\labelitemiv}{$circ$}
	\begin{itemize}
		\item \url{http://mathworld.wolfram.com/CircleSquaring.html}
		\medskip
		\item \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle}
	\end{itemize}

\end{document}