\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[top=2cm, bottom=1.5cm, left=3.0cm, right=2.5cm]{geometry}
\geometry{a4paper}
\usepackage{amsmath,amssymb, mathrsfs}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}
\usepackage{xifthen}
\usepackage{array}
\usepackage{tikz}
\usepackage{eurosym}
\usetikzlibrary{arrows}

%\pagestyle{headings}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}

\rhead{Date: 27/10/2010 }
\lfoot{\emph{Urem-ULB}}
\cfoot{Page \thepage}
\rfoot{}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\pagestyle{fancy}

\parindent 0pt

\title{Le problemath $n^\circ 1$}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

Voici le tout premier problemath, proposé aux étudiants et à tous les membres du Département de Mathématique de l'ULB, en 1976.

%\medskip
%Le document source n'est pas daté, mais on peut le situer à l'automne 1976. Il est signé \emph{Francis Buekenhout}. 

\bigskip
	\begin{minipage}[t]{0.12\linewidth}
		\textbf{Enoncé}:
	\end{minipage}
	\fbox{
	\begin{minipage}[t]{0.86\linewidth}
		Dans un quadrilatère convexe plan, d'aire $32\,\text{cm}^2$, la somme des longueurs d'une diagonale et de deux côtés opposés est de $16\,\text{cm}$.
	
		Déterminer toutes les valeurs possibles de la longueur de l'autre diagonale.
	\end{minipage}
	}

\bigskip
Ce premier problème parut relativement coriace à l'époque et quatre semaine après, seuls quatre étudiants en étaient venus à bout.
Une des solutions proposées est présentée ci-dessous.

\bigskip
\textbf{Solution:}

	\begin{minipage}{0.40\linewidth}
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,3);
			\coordinate(D) at (-3,0);
			\coordinate (B) at (2,0);
			\coordinate (C) at (-1,-1.5);
			\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
			\draw[thick] (B)--(D);
			\draw[thick] (0,0)--(A) node[midway,right]{$h_1$};
			\draw[thick] (-1,0)--(C)node[midway,right]{$h_2$};
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (A) circle (0.65mm) node [above]{$a$};
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (B) circle (0.65mm) node [right]{$b$};
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (C) circle (0.65mm) node [below]{$c$};
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (D) circle (0.65mm) node [left]{$d$};
			\draw (0.3,0)|-(0,0.3);
			\draw (-1.3,0)|-(-1,-0.3);
		\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{minipage}{.58\linewidth}
		Données : 
			\[ 
				\left\{
				\begin{matrix}
				 ab+bd+dc&=&16 & (1) \\ 
				\dfrac{bd\cdot h_1}{2}+\dfrac{bd\cdot h_2}{2}&=&32 & (2)
				\end{matrix}
				\right.
			\]

		Comme $h_1\le ab$ et $h_2\le cd$, on tire 
		\[
			bd\,(h_1+h_2)=64 \le bd\,(ab+cd) =bd\,(16-bd)
		\]
		Donc, $bd^2-16\,bd + 64 \le 0$ ou $(bd-8)^2\le 0$ .
	\end{minipage}
	
	De ce fait, $bd=8$ , et (1) donne $ab+cd+8$, (2) donne $h_1+h_2=8$,
	de sorte que $h_1=ab$, $h_2=cd$ et le quadrilatère a l'allure ci-dessous.

	\begin{minipage}{0.40\linewidth}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\coordinate (A) at (3,3);
			\coordinate(D) at (-2,0);
			\coordinate (B) at (3,0);
			\coordinate (C) at (-2,-1.5);
			\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
			\draw[thick] (B)--(D);
			\draw[dashed] (B)|-(C);
			\draw[dashed] (A)--(C);
			\draw (2.7,0)|-(3,0.3);
			\draw (-1.7,0)|-(-2,-0.3);
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (A) circle (0.8mm) node [above]{$a$};
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (B) circle (0.8mm) node [right]{$b$};
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (C) circle (0.8mm) node [below]{$c$};
			\fill[fill=white,draw=black,thick] (D) circle (0.8mm) node [left]{$d$};
		\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{minipage}{.58\linewidth}
 		Dès lors, $ac^2=bd^2+(ab+cd)^2=64+64$ et $ac=8\,\sqrt{2\,}$, ce qui est le résultat cherché.
	\end{minipage}

	\bigskip
	Cette solution était assortie du commentaire suivant.

	\medskip
	Si on raisonne en songeant que l'ensemble des quadrilatères dépend de 5 paramètres (pour le groupe des isométries) et qu'il y a deux contraintes,
	on s'attend à ce que ``beaucoup'' de quadrilatères répondent à la question et que les valeurs prises par la diagonale cherchée recouvrent un intervalle.
	Il y a bien une infinité de quadrilatères répondant aux données mais il y en a moins que prévu et leur diagonale est unique.

	Une autre question se pose alors.
	Comment ce problème a-t-il été composé? On peut tenter une explication sur la base de l'approche adoptée par G.Gondon\footnote{Le premier étudiant à avoir fourni une solution}.
	On retient uniquement la contrainte (1) et on étudie la variation de l'aire des quadrilatères obtenus. En cherchant le maximum de celle-ci on est conduit à la valeur $32$.

	\medskip
	En effet, en posant $ab=r$ et $cd=s$ ($r+s < 16$), on a $db=16-(r+s)$.  Pour un choix de $r$ et de $s$, l'aire $\mathcal{A}$ du quadrilatère sera maximum si $r=h_1$ et $s=h_2$.
	Cette aire est alors $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\,\left(16-(r+s)\right)\,(r+s)$.
	Comme la fonction $f:x\mapsto \frac{1}{2}\,(16-x)\,x\ $ a son maximum en $x=8$, on en déduit que l'aire maximum est atteinte pour $r+s=8$ et que cette aire vaut $f(8)=\frac{1}{2}(16-8)\,8=32$.

\end{document}