UREM-ULB :
Unité de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques

Un mathématicien du mois d’avril :

Leonhard EULER [Bâle 15 /04/1707/StPetersbourg 18 /09/1783]
Citons d’emblée le début de la préface par Jean-Claude PONT de [1]

“ Imaginez devant vous, pour fixer les idées, une septantaine de grands Larousse et dites-vous qu’ils regorgent de découvertes nouvelles, de points de vue originaux, de tentatives diverses pour comprendre notre vaste univers. Pensez ensuite que tout cela, dont des pans entiers nourrissent notre science d’aujourd’hui, pensez que tout cela sort du cerveau d’un seul homme, qui vécut les douze dernières années de sa vie dans l’obscurité d’une cécité totale ; un homme dont la main n’était sûrement pas assez leste pour traduire dans le monde sublunaire les rêveries des fécondes veilles de ce cerveau sans pareil”

Il est dès lors utopique de sélectionner quelques points de cette oeuvre immense dont quasi tous les chapitres de mathématique en ont gardé une empreinte ineffaçable.

Limitons-nous donc, ici, aux seules traces d’EULER en Mathématique
Élémentaire :
 la popularisation définitive de la notation π de W.JONES pour le célèbre nombre PI

dans l’ouvrage Mechanica sive motus scientia analytice exposita [1736]
 Le choix de la lettre i comme unité des nombres imaginaires, évitant ainsi les “troubles” dus à √-1 en 1777 mais publié seulement en 1794 (GAUSS puis CAUCHY seront responsables de son adoption définitive ... mais ceci est une autre aventure...)
 Le choix de la lettre e comme base des logarithmes naturels (dénommés logarithmes hyperboliques par EULER et ... malheureusement logarithmes népériens depuis)
 La vision “exponentielle” des logarithmes ainsi que la règle de conversion entre logarithmes de bases distinctes :

 le choix d’un rayon 1 pour le “cercle trigonométrique” et la découverte du lien entre trigonométrie, nombres “complexes” et les séries entières menant à la “merveilleuse formule” e^(iπ) = -1 [1748]

 en géométrie, nombreux débutant mathématiciens se sont émerveillés avec la collinéarité des orthocentres, barycentre et centre du cercle circonscrit à un triangle (la droite d’EULER)[1767]
notons qu’EULER fera cette découverte en explorant une nouvelle
démonstration pour la formule de HERONde l’aire d’un triangle
 dans les lettres CII,CIII à une Princesse d’Allemagne, la “vision illustrée” des syllogismes : les Cercles d’Euler
(point de départ des diagrammes de VENN et autres “patates” si décriées quelquefois !)[1761]

 Les jeux mathématiques ne furent pas absents non plus des préoccupations d’EULER :
problème du cavalier sur l’échiquier, problèmes de carrés magique,carrés latins et gréco-latins (amateurs de sudoku, une
belle découverte !), problème des ponts de Koenigsberg (point de départ de la Théorie des Graphes)

Enfin, comment ne pas citer ses Eléments d’algèbre[1748]
dont la clarté (*)de l’exposé le rend – à l’orthographe près _ un “maître achat” pour l’enseignement dans le secondaire d’aujourd’hui de certaines parties du programme d’algèbre (les équations du second degré par exemple !)
(*)

Un site à compulser :

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Biographies/Euler.html

Quelques ouvrages récents :
 Philippe HENRY : Léonhard Euler “incomparable géométre”,
Editions Médecine et Hygiène 2007
 W.DUNHAM : Euler, The Master of Us All,
M.A.A. 1999
 Une BD :
A.K.HEYNE,
A.K.HEYNE,
E.S.PINI , Leonhard Euler, a man to be reckoned with,
Birkäuser 2007
 Paul J. NAHIN : Dr. Euler’s fabulous formula,
Princeton University Press 2006
(en fait “the story behind one of the world’s most important mathematical equations e^(iπ-)=-1)